Pengertian
Aproksimasi
A.
Dalam
percakapan sehari-hari, sering kita menyebut suatu bilangan, misalnya “
Keranjang ini isinya 12 butir telur ”, atau “ Model pakaian ini memerlukan kain
3 meter ” . Dua contoh kalimat tadi menyebut bilangan yang diperoleh secara
berbeda, yaitu bilangan 12 diperoleh dari kegiatan “ membilang ” karena
bilangan yang dimaksud adalah eksak yang hanya ada satu jawaban yang tepat
untuk persoalan itu, sedangkan bilangan 3 diperoleh dari “ pengukuran ” karena
bilangan yang didapat hasilnya tidak pasti ( tidak eksak ) mungkin 2,99… meter,
sehingga dibulatkan saja menjadi 3 meter. Dari kegiatan pengukuran tersebut
walaupun telitinya dalam mengadakan suatu pengukuran, tidak akan dapat
menyatakan ukuran yang tepat, meskipun suatu ukuran yang demikian itu ada.
Dengan demikian bilangan yang diperoleh dari mengukur itu hanyalah pendekatan
atau pembulatan. Pembulatan seperti ini disebut aproksimasi.
B.
Pembulatan
Semua pengukuran
adalah “ pendekatan “ oleh karena itu hasil-hasil pengukuran panjang, massa,
waktu, luas dan sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.
Pembulatan
dilakukan dengan aturan, jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka
di depannya ditambah satu. Kalau angka berikutnya kurang dari 5 maka angka
tersebut dihilangkan dan angka di depannya tetap.
Ada tiga
macam cara pembulatan, yaitu :
a.
pembulatan
ke ukuran satuan ukuran terdekat
b.
pembulatan
ke banyaknya angka desimal, dan
c.
pembulatan
ke banyaknya angka-angka yang signifikan
1. Pembulatan
ke Ukuran Satuan Terdekat
Dalam hal
pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan lebih dahulu satuan
terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur
Contoh
:
a.
165,5
cm = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat
b.
2,
43 kg = 12 kg , dibulatkan ke kg
terdekat
c.
14,16
detik = 14,2 detik, dibulatkan ke
persepuluh detik terdekat
2. Pembulatan
ke Banyaknya Angka-angka Desimal
Untuk
mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu diadakan pembulatan suatu bilangan
desimal sampai ke sekian banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang
dikehendaki.
Contoh :
5,47035 =
5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal
=
5,470 dibulatkan sampai tiga tempat
desimal
=
5,47 dibulatkan sampai dua tempat desimal
=
5,5 dibulatkan sampai satu tempat
desimal
3. Pembulatan
ke Banyaknya Angka-angka yang Signifikan
Cara lain
untuk menyatakan ketelitian pendekatan, yaitu dengan cara menetapkan banyaknya
angka yang signifikan. Istilah signifikan berasal dari bahasa Inggris “ Significant
“ yang berarti “ bermakna “.Kita menyatakan bahwa 64,5 cm mempunyai 3 angka
signifikan dan 65 cm mempunyai 2 angka yang signifikan.
Jika
diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk menentukan
angka-angka mana yang signifikan :
a.
Angka
yang tidak nol selalu signifikan
b.
Angka
“ 0 “ itu signifikan jika letaknya diantara angka-angka yang signifikan.
c.
Angka
“ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang tidak nol
bahkan jika angka-angka nol itu muncul sesudah tanda tempat desimal
d.
Angka
“ 0 “ itu signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka-angka
lain yang signifikan
e.
Angka
“ 0 “ pada suatu bilangan, khususnya yang ditandai “strip “ atau “ bar “ adalah
signifikan.
Contoh
:
1)
807003 Disini mempunyai 6 angka signifikan.
2)
032,00
m. Dua angka nol ( dibelakang ) di sini
menyatakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter terdekat,
jadi signifikan, di sini ada 4 angka signifikan
3)
0,0720 km. Dua angka nol yang pertama
menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan. Nol yang ketiga menunjukkan
bahwa panjang telah diukur sampai ke persepuluhan meter, jadi signifikan. Di
sini ada 3 angka signifikan
4)
20,080 km. Di sini mempunyai 5 angka yang
signifikan
5)
500 -
dalam hal ini, dua angka nol bisa signifikan atau bisa tidak signifikan. (
signifikan jika aslinya memang 500, tidak signifikan jika aslinya tidak 500
misal: 496 atau 455 yang dibulatkan ke ratusan terdekat.) Sehingga untuk
memperjelas digunakan tanda strip misal: 
dan 
disini mempunyai 3 angka signifikan
dan disini mempunyai 3 angka signifikan
C. Kesalahan
Hasil Pengukuran
Selisih
antara ukuran sebenarnya dan ukuran yang di peroleh dari pengukuran itu disebut
kesalahannya. Besarnya kesalahan ini dapat diperkecil dengan menggunakan alat
pengukur yang lebih teliti dan cara pengukuran yang lebih teliti pula. Akan
tetapi, hasil pengukuran tidak akan pernah eksak sekalipun tidak terjadi
kesalahan cara mengukurnya. Oleh karena itu, kita perlu mengetahui pada setiap
keadaan, sampai di mana kita dapat mempercayai pengukuran kita, yaitu kita
harus mengetahui kesalahan maksimum yang dapat di tenggang.
Berikut
ini akan diuraikan beberapa macam kesalahan :
a.
Salah
Mutlak
b.
Salah
Relatif
c.
Persentase
Kesalahan
1. Salah
Mutlak
Pandanglah
pengukuran suatu panjang baut. Jika kita menggunakan penggaris yang ditera
dalam sentimeter, maka kita dapat mengatakan bahwa panjangnya ialah 5 cm. Ini
tidak berarti bahwa panjangnya 5 cm. Kita mengatakan bahwa pengukuran ini tepat
sampai sentimeter terdekat, dan kita mengatakan bahwa satuan terkecil dari
pengukuran ialah 1 cm. Jadi panjang sebenarnya ialah lebih dekat ke 5 cm dari
pada ke 4 cm atau ke 6 cm, yaitu
panjangnya terletak pada suatu tempat antara 4,5 cm dan 5,5 cm dan kesalahannya
sebesar-besarnya 0,5 cm. Kita mengatakan bahwa salah mutlaknya ialah 0,5 cm.
Perhatikan
dari penjelasan gambar berikut ini bahwa batas atas panjang baut ialah 5,5 cm
dan batas bawahnya ialah 4,5 cm Dengan demikian salah mutlak adalah setengah
dari satuan ukuran terkecil.
5,5 cm
Batas atas pengukuran
5 cm
Pengukuran sampai cm terdekat
4,5 cm Batas bawah pengukuran
0,5 0,5 cm
= Salah Mutlak
Jadi
dapat disimpulkan bahwa :
|
Contoh
:
Seorang
siswa dari program keahlian Tata Boga akan membuat kue, bahan yang diperlukan 0,6 kg tepung dan 8
butir telor ayam.
Dari keadaan
tersebut dapat diketahui aspek pengukuran sebagai berikut :
Tepung
:
Satuan
ukuran terkecil = 0,1 kg
Jadi
salah mutlak = ½ x 0,1 kg = 0,05 kg
Batas
atas pengukuran = 0,65 kg
Batas
bawah pengukuran = 0,55 kg
Telor
:
Banyaknya
telor ayam tepat 8 butir ( eksak )
2. Salah
Relatif
Besar
kecilnya kesalahan sebetulnya dapat ditentukan oleh teliti tidaknya alat yang
digunakan. Memilih alat ukur yang digunakan harus disesuaikan dengan
kebutuhannya.
Misalnya :
seseorang bekerja membuat garis pinggir dari suatu lapangan sepakbola. Suatu
kesalahan sebesar 1 cm sampai 5 cm adalah relatif tidak penting. Akan tetapi,
suatu kesalahan 1 cm saja yang di perbuat oleh seorang tukang kayu akan
menggagalkan pekerjaannya. Demikian halnya jika kita membuat kue dengan tepung
2 kg, yang dibubuhi esens terlalu banyak
½ cangkir, akibatnya kue itu tidak enak dimakan. Sering kali kita
memandang suatu kesalahan dibandingkan dengan pengukuran yang sebenarnya.
Karena itu kita menggunakan istilah salah relatif ( nisbi ).
Salah
relatif dirumuskan sebagai berikut :
|
|
Contoh :
Seorang siswa membeli kain yang panjangnya
2,5 meter dengan satuan ukuran terkecil
0,1 meter, berapakah salah relatif dari pengukuran yang dilakukan ?
Jawab
: Salah mutlak = ½ x
0,1 m = 0,05 m
3. Persentase
Kesalahan
Untuk
menghitung persentase kesalahan dari suatu pengukuran , terlebih dahulu dicari
salah relatif dari pengukuran itu, kemudian mengalikan dengan 100 % ( yaitu
dengan 1 )
Jadi persentase kesalahan dirumuskan sebagai
berikut :
|
Contoh :
Sepucuk surat setelah ditimbang, ternyata
beratnya 0,8 gram.
Carilah persentase kesalahan pengukuran itu
?
Jawab
: satuan ukuran terkecil = 0,1
gram
Salah
mutlak = ½ x 0,1 gram = 0,05 gram
Salah
relatif = 
= 
=
Persentase
kesalahan = x 100 %
= 6,25 %
x 100 %
= 6,25 %
D. Toleransi
Pada
industri modern yang menggunakan metode-metode produksi massal, bagian-bagian
alat sering kali dibuat dalam pabrik-pabrik yang berbeda yang kemudian dikirim
ke pabrik induk untuk dirakit. Karena itu penting sekali memastikan bahwa
bagian-bagian alat itu dibuat cukup teliti, supaya cocok bila dirakit. Untuk
itu biasanya kita menentukan kesalahan maksimum ukuran yang diperbolehkan dalam
pembuatan bagian-bagiannya. Misalnya: Di sebuah pabrik kendaraan
baut-bautnya dibuat dengan mesin dan
diharuskan berdiameter 6 mm spesifikasinya mungkin memperbolehkan diameternya
antara 5,8 mm dan 6,2 mm. Selisih antara batas-batas ini yaitu 0,4 mm, disebut
toleransi dalam pengukuran dan dinyatakan dengan ( 6 ± 0,2 ) mm.
Jadi
toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran terbesar yang dapat
diterima dan pengukuran yang terkecil yang dapat diterima.
Contoh
:
Toleransi
yang diperkenankan untuk massa ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti massa terbesar yang
dapat diterima ialah 15 + 0,5 = 15,5 gram dan massa terkecil yang dapat
diterima ialah 15 – 0,5 = 14,5 gram sehingga toleransinya adalah 1 gram.
Rangkuman
:
1.
Aproksimasi
merupakan cara pendekatan atau pembulatan dari hasil suatu pengukuran yang
dilakukan.
2.
Aturan
pembulatan adalah jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka angka
didepannya ditambah satu, tetapi jika angka berikutnya kurang dari 5 maka angka
tersebut dihilangkan dan angka didepannya tetap.
3.
Cara
pembulatan dapat dilakukan dengan pembulatan ke ukuran satuan terdekat,
pembulatan ke banyaknya angka desimal, dan pembulatan ke banyaknya angka-angka
yang signifikan.
4.
Salah
mutlak = ½ x satuan ukuran terkecil
5.
6.
Persentase
Kesalahan = Salah relatif
x 100 %
7.
Toleransi
dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran terbesar yang dapat diterima
dan pengukuran yang terkecil yang dapat diterima
EmoticonEmoticon